Резонанс токов и напряжений: схемы, формулы и примеры

Резонанс напряжений возникает в последовательном RLC-контуре, а резонанс токов — в параллельном. В первом случае компенсируются реактивные составляющие напряжений, во втором — токов. Поэтому при одном и том же напряжении питания последовательный контур может потреблять большой ток, а параллельный — небольшой ток при заметных токах внутри ветвей.

Ниже разобраны две конкретные схемы: R_s–L–C последовательно и R_p, L, C параллельно. Это линейные модели с идеальными L и C и отдельно заданными потерями. Все U и I — действующие значения синусоидального напряжения и тока в установившемся режиме. В примерах источник поддерживает указанное напряжение на входе схемы. Реальная катушка с сопротивлением обмотки рассмотрена отдельно.

Чем отличаются резонанс токов и напряжений

Утверждения о максимуме и минимуме здесь относятся именно к указанным моделям с постоянными R, L, C. Для произвольной схемы с потерями сначала находят её входное сопротивление или проводимость.

Реактивное сопротивление и частота резонанса

Для идеальных элементов при частоте f:

ω = 2πf; X_L = ωL; X_C = 1/(ωC).

Здесь f измеряется в герцах, ω — в радианах в секунду, L — в генри, C — в фарадах, X — в омах. X_L и X_C обозначают положительные величины. Индуктивная и ёмкостная составляющие имеют противоположные знаки в комплексном сопротивлении.

Ток идеальной катушки отстаёт от её напряжения на 90°, а ток конденсатора опережает напряжение на 90°. По модулю U_L = I_LX_L и U_C = I_CX_C: ток умножают на сопротивление. Деление I/X не даёт напряжения даже по размерности. Фазовые соотношения разобраны в OpenStax, §15.2; базовую связь величин объясняет наша статья про закон Ома.

Для двух рассматриваемых RLC-моделей условие компенсации даёт:

ω₀ = 1/√(LC); f₀ = 1/(2π√(LC)); T₀ = 2π√(LC).

Не подставляйте мГн и мкФ как генри и фарады: 10 мГн = 0,01 Гн, 1 мкФ = 10⁻⁶ Ф. Формула и частотная зависимость последовательного контура приведены в OpenStax, University Physics, §15.5.

Резонанс напряжений: последовательная цепь

Модуль входного сопротивления и ток:

|Z| = √[R_s² + (ωL − 1/(ωC))²]; I = U/|Z|.

При f = f₀ получаем X_L = X_C, |Z| = R_s, I = U/R_s. Входные ток и напряжение совпадают по фазе. Напряжения на L и C равны по величине и противоположны по фазе: они компенсируются в векторной сумме, хотя каждое может быть большим.

Для этой схемы добротность Q_s = ω₀L/R_s. При резонансе U_L = U_C = Q_sU. Это напряжения на отдельных идеальных реактивных элементах, а не на входе всей цепи. Превышение U получается при Q_s > 1. При большом R_s условие компенсации сохраняется, но резонансный подъём становится менее выраженным.

Пример: на входе 1 В, на конденсаторе 10 В

Возьмём условные L = 10 мГн, C = 1 мкФ, R_s = 10 Ом и U = 1 В. Это расчёт модели, не инструкция по сборке.

1. ω₀ = 10 000 рад/с, f₀ ≈ 1591,55 Гц.
2. X_L = X_C = 100 Ом; I = 1/10 = 0,1 А.
3. U_L = U_C = 0,1 × 100 = 10 В; Q_s = 10.
4. Активная мощность P = I²R_s = 0,1 Вт.

Нельзя складывать 1, 10 и 10 В арифметически: напряжения имеют разные фазы. На входе остаётся 1 В, а в идеальных L и C энергия периодически запасается и возвращается. Дополнительная активная мощность из этого не появляется.

Резонанс токов: параллельная цепь

Удобно складывать проводимости. При j² = −1 входная проводимость:

Y = 1/R_p + j(ωC − 1/(ωL)).

При f₀ реактивная часть Y равна нулю. Тогда Z = R_p, I_ист = U/R_p, а I_L = U/(ω₀L) и I_C = ω₀CU равны по величине и противоположны по фазе. Источник питает активную ветвь, поэтому при конечном R_p его ток не равен нулю.

Добротность этой параллельной модели Q_p = R_p/(ω₀L) = ω₀CR_p. При резонансе I_L = I_C = Q_pI_ист. Модели обоих контуров и влияние подключённой цепи на добротность рассмотрены в учебнике MIT Electromagnetics and Applications, §3.5.

Пример: источник отдаёт 1 мА, в каждой LC-ветви — 10 мА

Оставим L = 10 мГн, C = 1 мкФ и U = 1 В, но подключим их параллельно с R_p = 1000 Ом. При f₀ ≈ 1591,55 Гц получим:

• I_L = I_C = 1/100 = 0,01 А = 10 мА;
• I_ист = I_R = 1/1000 = 0,001 А = 1 мА;
• Q_p = 10; P = U²/R_p = 0,001 Вт = 1 мВт.

Сумма токов источника — векторная: 1 мА активного тока и два взаимно компенсирующихся реактивных тока по 10 мА. Нулевой входной ток получается лишь в предельной модели идеальных параллельных L и C без потерь и нагрузки при установившемся синусоидальном напряжении.

Что меняется у реальной катушки

Потери нельзя произвольно переносить из одной ветви схемы в другую. Рассмотрим отдельную модель: сопротивление обмотки r последовательно с идеальной L; вся эта ветвь параллельна идеальному C. Здесь нет отдельного R_p. Из закона Кирхгофа для проводимостей:

Y = 1/(r + jωL) + jωC.

Приравнивая мнимую часть нулю, получаем условие фазового резонанса:

ω_r = √[1/(LC) − r²/L²].

Положительная частота существует при r² < L/C. Это результат для указанной схемы с постоянными r, L, C, а не универсальная поправка для любых катушек. Входной ток совпадает по фазе с напряжением, но ток всей катушки уже не равен току конденсатора: компенсируется только реактивная составляющая тока её ветви. Также частота нулевого фазового сдвига не обязана совпадать с максимумом |Z|, поскольку активная проводимость этой ветви зависит от частоты.

Проверим на прежних L = 10 мГн и C = 1 мкФ при r = 10 Ом и U = 1 В. Получается f_r ≈ 1583,57 Гц. Ток ветви катушки равен 10 мА: его активная составляющая — 1 мА, реактивная — около 9,95 мА. Конденсатор потребляет около 9,95 мА с противоположной реактивной фазой. Поэтому источник отдаёт 1 мА. Это небольшой, но принципиальный сдвиг относительно 1591,55 Гц идеализированной модели.

Для конкретных компонентов дополнительно учитывают сопротивление на рабочей частоте, потери и паразитные параметры, ограничения по напряжению и току. Одной паспортной индуктивности для расчёта всего устройства недостаточно.

Где резонанс полезен и чем опасен

Резонансные цепи применяют для частотной избирательности: настройки радиоприёмников и построения фильтров. Изменение L или C меняет частоту настройки. Пропускает или подавляет фильтр эту полосу, зависит от того, как контур включён между источником и нагрузкой; одного слова «последовательный» или «параллельный» недостаточно. Примеры разных включений приведены в MIT, §7.4, рис. 7.4.4.

В силовых цепях резонанс может вызвать перенапряжение на компонентах и повышенные токи ветвей. В частности, конденсаторные установки компенсации реактивной мощности взаимодействуют с индуктивностью сети. Гармоники или переходные процессы способны возбудить нежелательные колебания; последствия зависят от потерь, нагрузки и параметров всей системы. Это описывает изготовитель измерительной техники Power Monitors в материале о конденсаторах и резонансе.

Поэтому нельзя считать добавление конденсатора, резистора или «балласта» универсальным способом устранения проблемы. Для сетевой установки нужны расчёт её схемы и спектра гармоник, оценка режимов и допустимых нагрузок компонентов. Приведённые учебные схемы не предназначены для подключения к бытовой сети.

Частые вопросы

Почему резонанс напряжений не нарушает закон сохранения энергии?

Высокие напряжения на L и C противоположны по фазе, а энергия обменивается между электрическим и магнитным полями. Активная мощность источника расходуется на потери и нагрузку. В первом примере P = UI = 0,1 Вт, что совпадает с результатом I²R_s.

При большом сопротивлении резонанса совсем нет?

В последовательной модели компенсация X_L и X_C остаётся при любом конечном положительном R_s; уменьшается добротность. В модели реальной катушки, параллельной конденсатору, условие существования положительной частоты другое: r² < L/C. Поэтому ответ зависит от схемы и определения резонанса.

Частота свободных колебаний всегда равна f₀?

Нет. Например, для свободных затухающих колебаний последовательного RLC-контура ω_d = √[1/(LC) − (R_s/(2L))²] при положительном подкоренном выражении. Это не та же задача, что установившийся ток при синусоидальном питании. Различие следует из уравнения свободного контура в MIT, формула 3.5.15. А при полном отсутствии потерь последовательная LC-цепь, возбуждаемая на f₀ идеальным источником напряжения, не имеет ограниченного установившегося резонансного тока.

Для продолжения темы: измерение частоты переменного тока и причины потерь электроэнергии.

Опубликовано 13.05.2018 Обновлено 05.10.2026 Пользователем Александр (администратор)