Можно ли заземлить стиральную машину от ванной?

Можно, но не совсем так как вы пишите. Ставьте КУП — это типа распредкоробки только с шиной внутри, к ней подключаете провод заземления, который идет в ванную комнату. А уже от этой шины подключаете отдельно ванную и стиралку. Подробнее мы рассматривали похожий вопрос в статье https://samelectrik.ru/zachem-nuzhna-sistema-uravnivaniya-potencialov.html

Хотя если я правильно представил вашу ситуацию, то возможно это и есть тот пластиковый щиток который у вас установлен. Что у него внутри? Если то, что я написал выше, то можете подключать туда заземление вашей стиральной машины — всё должно быть хорошо!